Cara Menghitung Akar Kuadrat Secara Manual

Pada masa sebelum kalkulator ditemukan, siswa dan profesor harus menghitung akar kuadrat secara manual. Beberapa cara yang berbeda telah berkembang untuk mengatasi proses yang sulit ini. Beberapa cara memberikan perkiraan kasar dan cara lainnya memberikan nilai yang tepat. Untuk mempelajari cara mencari akar kuadrat sebuah angka hanya dengan menggunakan operasi sederhana, lihatlah Langkah 1 di bawah ini untuk memulai.

Metode1
Menggunakan Faktorisasi Prima

1
Bagilah angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurna. Cara ini menggunakan faktor-faktor dari suatu angka untuk mencari akar kuadrat dari angka tersebut (bergantung pada angkanya, jawaban dapat berupa angka yang tepat atau perkiraan yang mendekati). Faktor-faktor dari suatu angka adalah sekumpulan angka-angka lain yang jika dikalikan akan menghasilkan angka tersebut.^[1] Misalnya, Anda bisa mengatakan bahwa faktor-faktor dari 8 adalah 2 dan 4 karena 2 × 4 = 8. Sedangkan, kuadrat sempurna adalah angka-angka bulat yang merupakan hasil perkalian dari angka bulat lainnya. Misalnya, 25, 36, dan 49 adalah kuadrat sempurna karena masing-masing merupakan 5², 6², dan 7². Seperti yang sudah dapat Anda perkirakan, faktor-faktor kuadrat sempurna adalah faktor-faktor yang juga merupakan kuadrat sempurna. Untuk mulai mencari akar kuadrat melalui faktorisasi prima, cobalah terlebih dahulu menyederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya.
- Mari kita gunakan contoh. Kita ingin mencari akar kuadrat dari 400 secara manual. Untuk memulai, kita akan membagi angka tersebut menjadi faktor-faktor kuadrat sempurnanya. Karena 400 adalah kelipatan 100, kita tahu bahwa 400 dapat dibagi habis dengan 25 – kuadrat sempurna. Dengan pembagian bayangan yang cepat, kita mengetahui bahwa 400 dibagi 25 sama dengan 16. Secara kebetulan, 16 juga merupakan kuadrat sempurna. Dengan demikian, faktor-faktor kuadrat sempurna dari 400 adalah 25 dan 16 karena 25 × 16 = 400.
- Kita dapat menulisnya sebagai: Akar(400) = Akar(25 × 16)
2
Carilah akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna Anda. Sifat perkalian dari akar kuadrat menyatakan bahwa untuk angka a dan b berapapun, Akar(a × b) = Akar(a) × Akar(b).^[2] Karena sifat ini, sekarang, kita sekarang dapat mencari akar kuadrat dari faktor-faktor kuadrat sempurna kita dan mengalikannya untuk mendapatkan jawaban kita.
- Dalam contoh kita, kita akan mencari akar kuadrat dari 25 dan 16. Lihat di bawah ini:
  - Akar(25 × 16)
  - Akar(25) × Akar(16)
  - 5 × 4 = 20
3
Jika angka Anda tidak dapat difaktorkan dengan sempurna, sederhanakan jawaban Anda ke dalam bentuk yang paling sederhana. Dalam kehidupan nyata, sering kali angka-angka yang perlu Anda cari akar kuadratnya bukanlah merupakan angka-angka bulat yang menyenangkan dengan faktor-faktor kuadrat sempurna yang terlihat jelas seperti 400. Dalam kasus-kasus ini, mungkin saja kita tidak dapat mencari jawaban yang tepat berupa angka bulat. Tetapi, dengan mencari faktor-faktor kuadrat sempurna berapa pun yang bisa Anda dapatkan, Anda dapat mencari jawabannya dalam bentuk akar kuadrat yang lebih kecil, sederhana, dan lebih mudah dihitung. Untuk melakukannya, sederhanakan angka Anda menjadi gabungan faktor-faktor kuadrat sempurna dan faktor-faktor kuadrat tidak sempurna, kemudian sederhanakan.
- Mari kita gunakan akar kuadrat 147 sebagai contoh. 147 bukanlah hasil perkalian dua kuadrat sempurna, sehingga kita tidak bisa mendapatkan nilai angka bulat yang tepat seperti di atas. Akan tetapi, 147 adalah hasil perkalian satu kuadrat sempurna dan angka lain – 49 dan 3. Kita dapat menggunakan informasi ini untuk menuliskan jawaban kita dalam bentuk yang paling sederhana seperti berikut:
  - Akar(147)
  - = Akar(49 × 3)
  - = Akar(49) × Akar(3)
  - = 7 × Akar(3)
4
Jika dibutuhkan, perkirakan. Dengan akar kuadrat Anda yang berada dalam bentuk paling sederhana, biasanya cukup mudah untuk mendapatkan perkiraan kasar mengenai jawaban angkanya dengan menebak nilai akar kuadrat yang tersisa dan mengalikannya. Salah satu cara untuk memandu perkiraan Anda adalah dengan mencari kuadrat-kuadrat sempurna yang lebih besar dan kecil dari angka di dalam akar kuadrat Anda. Anda akan mengetahui bahwa nilai desimal dari angka di dalam akar kuadrat Anda berada di antara kedua angka itu, sehingga Anda dapat menebak nilainya di antara kedua angka tersebut.
- Mari kembali ke contoh kita. Karena 2² = 4 dan 1² = 1, kita tahu bahwa Akar(3) berada di antara 1 dan 2 – mungkin lebih dekat ke 2 dibandingkan 1. Kita memperkirakan 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Jika kita memeriksa jawaban kita di kalkulator, kita dapat melihat bahwa jawaban kita cukup dekat dengan jawaban sebenarnya yaitu 12,13.
  - Hal ini juga berlaku untuk angka-angka yang lebih besar. Misalnya, Akar(35) dapat diperkirakan di antara 5 dan 6 (mungkin lebih dekat ke 6). 5² = 25 dan 6² = 36. 35 berada di antara 25 dan 36, sehingga akar kuadratnya pasti berada di antara 5 dan 6. Karena 35 hanya kurang satu dari 36, bisa kita katakan dengan yakin bahwa akar kuadratnya sedikit lebih kecil dari 6. Memeriksa dengan kalkulator akan memberikan kita jawaban sekitar 5,92 – kita benar.
5
Cara lainnya, sederhanakan angka Anda menjadi faktor-faktor persekutuan terkecilnya sebagai langkah pertama Anda. Mencari faktor-faktor kuadrat sempurna tidaklah perlu dilakukan jika Anda dapat dengan mudah menentukan faktor-faktor prima dari suatu angka (faktor-faktor yang juga merupakan angka prima). Tulislah angka Anda dalam bentuk faktor-faktor persekutuan terkecilnya. Kemudian, carilah pasangan angka prima yang sesuai dari faktor-faktor Anda. Saat Anda menemukan dua faktor prima yang sama, hilangkan kedua angka ini dari akar kuadrat dan letakkan salah satu angka ini di luar akar kuadrat.
- Sebagai contoh, carilah akar kuadrat dari 45 menggunakan cara ini. Kita tahu bahwa 45 × 5 dan kita tahu bawah 9 = 3 × 3. Dengan demikian, kita dapat menulis akar kuadrat kita dalam bentuk faktor-faktornya seperti ini: Akar(3 × 3 × 5). Hilangkan saja kedua angka 3 dan letakkan satu angka 3 di luar akar kuadrat untuk menyederhanakan akar kuadrat Anda menjadi bentuk paling sederhana: (3)Akar(5).Dari sini, kita akan mudah untuk memperkirakan.
- Sebagai contoh soal terakhir, marilah kita mencoba mencari akar kuadrat dari 88:
  - Akar(88)
  - = Akar(2 × 44)
  - = Akar(2 × 4 × 11)
  - = Akar(2 × 2 × 2 × 11). Kita memiliki beberapa angka 2 di dalam akar kuadrat kita. Karena 2 adalah angka prima, kita dapat menghilangkan sepasang angka 2 dan meletakkan salah satunya di luar akar kuadrat.
  - = Akar kuadrat kita dalam bentuk paling sederhananya adalah (2) Akar(2 × 11) atau (2) Akar(2) Akar(11). Dari sini, kita dapat memperkirakan Akar(2) dan Akar(11) dan mencari perkiraan jawabannya sesuai yang kita inginkan.

Metode2
Mencari Akar Kuadrat Secara Manual

Menggunakan Algoritma Pembagian Panjang

1
Pisahkan digit-digit angka Anda menjadi pasangan. Cara ini menggunakan proses yang hampir sama dengan pembagian panjang untuk mencari akar kuadrat yang tepatdigit demi digit. Meskipun bukanlah suatu keharusan, Anda mungkin menganggap bahwa akan lebih mudah untuk melakukan proses ini jika Anda mengatur tempat kerja Anda dan angka Anda secara visual menjadi bagian-bagian yang mudah dikerjakan. Pertama, gambarlah sebuah garis vertikal yang membagi area kerja Anda menjadi dua bagian, kemudian gambarlah garis horisontal yang lebih pendek di dekat bagian kanan atas untuk membagi bagian kanan menjadi bagian atas yang kecil dan bagian bawah yang lebih besar. Selanjutnya, pisahkan digit-digit Anda menjadi pasangan, dimulai dari titik desimal. Misalnya, mengikuti aturan ini, 79.520.789.182,47897 menjadi "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Tulislah angka Anda di bagian kiri atas.
- Sebagai contoh, marilah kita mencoba menghitung akar kuadrat dari 780,14. Gambarlah dua garis untuk membagi tempat kerja Anda seperti di atas dan tulislah "7 80. 14" di bagian kiri atas. Tidak masalah jika angka yang paling kiri merupakan angka tunggal, dan bukan pasangan angka. Anda akan menulis jawaban Anda (akar kuadrat 780,14) di bagian kanan atas.
2
Carilah angka bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan angka (atau pasangan angka) yang paling kiri. Mulailah dari bagian yang paling kiri dari angka Anda, baik pasangan angka maupun angka tunggal. Carilah kuadrat sempurna terbesar yang kurang dari atau sama dengan angka ini, kemudian hitunglah akar kuadrat dari kuadrat sempurna ini. Angka ini adalah n. Tulislah n di bagian kanan atas dan tulislah nilai kuadrat dari n di kuadran kanan bawah.
- Dalam contoh kita, bagian yang paling kiri adalah angka 7. Karena kita tahu bahwa 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, kita dapat mengatakan bahwa n = 2 karena 2 merupakan angka bulat terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan 7. Tulislah 2 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit pertama dari jawaban kita. Tulislah 4 (nilai kuadrat dari 2) di kuadran kanan bawah. Angka ini penting untuk langkah selanjutnya.
3
Kurangkan angka yang baru saja Anda hitung dari pasangan paling kiri. Seperti pembagian panjang, langkah selanjutnya adalah mengurangkan nilai kuadrat yang baru saja kita temukan dari bagian yang baru saja kita analisis. Tulislah angka ini di bawah bagian pertama dan kurangkan, sambil menuliskan jawaban Anda di bawahnya.
- Dalam contoh kita, kita akan menulis 4 di bawah 7, kemudian mengurangkannya. Pengurangan ini menghasilkan jawaban 3.
4
Turunkan pasangan selanjutnya. Pindahkan ke bawah bagian selanjutnya dari angka yang Anda cari akar kuadratnya, ke sebelah nilai pengurangan yang baru saja Anda temukan. Selanjutnya, kalikan angka di kuadran kanan atas dengan dua dan tulislah jawabannya di kuadran kanan bawah. Di sebelah angka yang baru saja Anda tuliskan, berikan tempat untuk soal perkalian yang akan Anda lakukan pada langkah selanjutnya dengan menulis '"_×_="'.
- Dalam contoh kita, pasangan selanjutnya dari angka kita adalah "80". Tulislah "80" di sebelah 3 pada kuadran kiri. Selanjutnya, kalikan angka di kanan atas dengan dua. Angka ini adalah 2, jadi 2 × 2 = 4. Tulislah "'4"' di kuadran kanan bawah, diikuti dengan _×_=.
5
Isilah tempat-tempat yang kosong pada kuadran kanan. Anda harus mengisi semua tempat kosong yang baru saja Anda tuliskan pada kuadran kanan dengan angka bulat yang sama. Angka bulat ini harus merupakan angka bulat terbesar yang membuat hasil perkalian soal di kuadran kanan menjadi kurang dari atau sama dengan angka yang sekarang berada di kiri.
- Dalam contoh kita, mengisi tempat-tempat kosong dengan 8, sehingga menghasilkan 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. Nilai ini lebih besar dari 384. Dengan demikian, 8 terlalu besar, tetapi 7 mungkin dapat digunakan. Tulislah 7 pada tempat-tempat yang kosong dan selesaikan: 4(7) × 7 = 329. 7 merupakan angka yang tepat karena 329 kurang dari 380. Tulislah 7 di kuadran kanan atas. Ini adalah digit kedua pada akar kuadrat dari 780,14.
6
Kurangkan angka yang baru saja Anda hitung dari angka yang sekarang berada di kiri. Lanjutkan dengan rantai pengurangan menggunakan cara pembagian panjang. Ambillah hasil perkalian soal pada kuadran kanannya dan kurangkan dari angka yang sekarang berada di kiri, sambil menuliskan jawaban Anda di bawah.
- Dalam contoh kita, kita akan mengurangkan 329 dari 380, yang memberikan hasil51.
7
Ulangi langkah 4. Turunkan bagian selanjutnya dari angka yang Anda cari akar kuadratnya. Saat Anda mencapai titik desimal dalam angka Anda, tulislah titik desimal pada jawaban Anda di kuadran kanan atas. Kemudian, kalikan angka di kanan atas dengan 2 dan tuliskan di sebelah soal perkalian yang kosong ("_ × _") seperti di atas.
- Dalam contoh kita, karena kita sekarang menghadapi titik desimal dalam 780,14, tulislah titik desimal setelah jawaban kita sekarang di kanan atas. Selanjutnya, turunkan ke bawah pasangan selanjutnya (14) di kuadran kiri. Dua dikali angka yang berada di kanan atas (27) sama dengan 54, jadi tulislah "54 _×_=" di kuadran kanan bawah.
8
Ulangi langkah 5 dan 6. Carilah digit terbesar untuk mengisi tempat-tempat kosong di bagian kanan, yang memberikan jawaban kurang dari atau sama dengan angka yang sekarang berada di kiri. Kemudian, selesaikan soalnya.
- Dalam contoh kita, 549 × 9 = 4941, yang kurang dari atau sama dengan angka yang berada di kiri (5114). 549 × 10 = 5490 terlalu besar, jadi 9 adalah jawaban Anda. Tulislah 9 sebagai digit selanjutnya pada kuadran kanan atas dan kurangkan hasil perkaliannya dari angka yang berada di kiri: 5114 kurang 4941 sama dengan 173.
9

Untuk melanjutkan menghitung digit-digitnya, turunkan sepasang nol di bagian kiri, dan ulangi langkah 4, 5, dan 6. Untuk akurasi yang lebih tinggi, lanjutkan proses ini untuk menemukan tempat ratusan, ribuan, dan selanjutnya pada jawaban Anda. Lanjutkan menggunakan siklus ini hingga Anda menemukan tempat desimal yang diinginkan.

Memahami Prosesnya

1

Bayangkan angka yang Anda hitung akar kuadratnya sebagai luas S dari sebuah persegi. Karena luas sebuah persegi adalah P² dengan P adalah panjang salah satu sisinya, maka dengan mencoba mencari akar kuadrat dari angka Anda, Anda sebenarnya mencoba untuk menghitung panjang P dari sisi persegi itu.
2

Tentukan variabel huruf untuk setiap digit jawaban Anda. Tetapkan variabel A sebagai digit pertama dari P (akar kuadrat yang coba kita hitung). B akan menjadi digit kedua, C digit ketiga, dan seterusnya.
3

Tentukan variabel huruf untuk setiap bagian dari angka awal Anda. Tetapkan variabel S_a untuk pasangan digit pertama dalam S (nilai awal Anda), S_b untuk pasangan digit kedua, dst.
4

Pahami kaitan antara cara ini dengan pembagian panjang. Cara mencari akar kuadrat ini pada dasarnya adalah soal pembagian panjang yang membagi angka awal Anda dengan akar kuadratnya, sehingga menghasilkan akar kuadratnya sebagai jawaban. Sama seperti dalam soal pembagian panjang, Anda hanya tertarik dengan satu digit selanjutnya dalam setiap langkah. Dalam cara ini, Anda hanya tertarik dengan dua digit selanjutnya dalam setiap langkah (yang merupakan digit selanjutnya dalam setiap langkah untuk akar kuadrat).
5
Carilah angka terbesar yang nilai kuadratnya kurang dari atau sama dengan S_a.Digit pertama A dalam jawaban kita merupakan angka bulat terbesar yang nilai kuadratnya tidak melebihi S_a (yaitu A sehingga A² ≤ Sa < (A+1)²). Dalam contoh kita, S_a = 7, dan 2² ≤ 7 < 3², sehingga A = 2.
- Perhatikan bahwa, misalnya, jika Anda ingin membagi 88962 dengan 7 menggunakan pembagian panjang, langkah pertamanya hampir sama: Anda akan melihat digit pertama dari 88962 (yaitu 8) dan Anda mencari digit terbesar yang jika dikalikan dengan 7, hasilnya kurang dari atau sama dengan 8. Pada dasarnya, Anda mencari d sehingga 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). Dalam kasus ini, d akan sama dengan 1.
6
Bayangkan nilai kuadrat yang luasnya akan mulai Anda selesaikan. Jawaban Anda, akar kuadrat dari angka awal Anda, adalah P, yang mendeskripsikan panjang persegi dengan luas S (angka awal Anda). Nilai Anda untuk A, B, C, melambangkan digit-digit dalam nilai P. Cara lain untuk mengatakan hal ini adalah 10A + B = P (untuk jawaban dua digit), 100A + 10B + C = P (untuk jawaban tiga digit), dan seterusnya.
- Dalam contoh kita, (10A+B)² = P² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingatlah bahwa 10A+B melambangkan jawaban kita, P, dengan B dalam posisi satuan dan A dalam posisi puluhan. Misalnya, dengan A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan 12.(10A+B)² adalah luas keseluruhan persegi, sedangkan 100A² merupakan luas persegi terbesar di dalamnya, B² merupakan luas persegi terkecil di dalamnya, dan10A×B merupakan luas dari kedua persegi panjang yang tersisa. Dengan melakukan proses yang panjang dan berbelit-belit ini, kita menemukan luas keseluruhan persegi dengan menjumlahkan luas-luas persegi dan persegi panjang di dalamnya.
7

Kurangkan A² dari S_a. Turunkan satu pasang digit (S_b) dari S. Nilai S_a S_b mendekati total luas persegi, yang baru saja Anda gunakan untuk mengurangkan persegi dalam yang lebih besar. Sisanya dapat dianggap sebagai angka N1, yang kita dapatkan dalam langkah 4 (N1 = 380 dalam contoh kita). N1 sama dengan 2&times:10A×B + B² (luas dua persegi panjang ditambah luas persegi yang kecil).
8

Carilah N1 = 2×10A×B + B², yang juga ditulis sebagai N1 = (2×10A + B) × B. Dalam contoh kita, Anda sudah mengetahui N1 (380) dan A (2), jadi Anda harus mencari B. B kemungkinan besar bukan merupakan angka bulat, jadi Anda harus benar-benar mencari angka bulat terbesar B sehingga (2×10A + B) × B ≤ N1. Jadi, Anda memiliki: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
9

Selesaikan. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan A dengan 2, geserlah hasilnya ke posisi puluhan (setara dengan mengalikannya dengan 10), letakkan B dalam posisi satuan, dan kalikan angkanya dengan B. Dengan kata lain, selesaikan (2×10A + B) × B. Inilah tepatnya yang Anda lakukan saat Anda menulis "N_×_=" (dengan N=2×A) pada kuadran kanan bawah dalam langkah 4. Dalam langkah 5, Anda mencari angka bulat terbesar B yang sesuai dengan angka di bawahnya sehingga (2×10A + B) × B ≤ N1.
10

Kurangkan luas (2×10A + B) × B dari total luasnya. Pengurangan ini menghasilkan luas S-(10A+B)² yang belum dihitung (dan yang akan digunakan untuk menghitung digit selanjutnya dengan cara yang sama).
11

Untuk menghitung digit selanjutnya, C, ulangi prosesnya. Turunkan pasangan selanjutnya (S_c) dari S untuk mendapatkan N2 di kiri, dan carilah C terbesarnya sehingga Anda memiliki (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (setara dengan menulis dua dikali angka dua digit "A B" diikuti oleh "_×_=". Carilah digit terbesar yang sesuai di dalam tempat-tempat kosong, yang memberikan jawaban yang kurang dari atau sama dengan N2, seperti sebelumnya.